Բնական թվեր

•  Բնական թվերը ստեղծվել են բնական առարկաները հաշվելու համար:
•  Բնական թվերի բազմությունը նշանակում են N-ով:
• Բնական թվերի բազմությունն անվերջ է, քանի որ յուրաքանչյուր ամենամեծ բնական թվից գոյություն ունի մեկով ավել բնական թիվ:

Բնական թվերի հատկությունները

Բնական թվերը կարելի է գումարել, հանել, բազմապատկել և բաժանել: Այս չորս գործողություններից երկուսի՝ գումարում և բազմապատկում կատարելիս ստանում ենք նույն բազմությանը պատկանող թվեր, իսկ հանման և բաժանման դեպքերում՝ որոշ դեպքերում դրական, իսկ որոշ դեպքերում բացասական թվեր:
Բնական թվերը լինում են պարզ և բաղադրյալ: Պարզ թվերն այն թվերն են, որոնք բաժանվում են միայն իրենց և մեկի վրա: Օր.՝ 2, 3, 5, 7, 11 և այլն:
Ամենափոքր պարզ թիվը 2-ն է: Մեկը չի համարվում ոչ պարզ ոչ էլ բաղադրյալ թիվ:
Բաղադրյալ թվերն այն թվերն են, որոնք բացի իրենցից և մեկից ունեն նաև այլ բաժանարարներ: Օր.՝ 4,6,8,10, 25, 33 և այլն:

Մնացորդով բաժանում

Բնական թիվը բնական թվի վրա բաժանելիս միշտ չէ, որ ստացվում է բնական թիվ

Օրինակ` 25:3=8 և 1մն.

Թիվը= քանորդ*բաժանարար + մնացորդ

25=8*3+1

Ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար և ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ

Թվերի բաժանարարներից ամենամեծը կոչվում է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար: Այնգտնելու համար թվերը վերլուծում ենք պարզ  արտադրիչների, այնուհետև հաշվում ենքամենաքիչ կրկնվող արտադրըալը:

Օրինակ` (36 ;48)= 2*2*3=12
36=2*2*3*3   48=2*2*2*2*3

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկ կոչվում է այն թիվը, որի վրա առանց մնացորդիբաժանվում են տրված թվերից յուրաքանչյուրը: Այն գտնելու համար տրված թվերըվերլուծում ենք պարզ արտադրիչների, հաշվում ենք առավելագույն կրկնվող պարզարտադրիչներից արտադրյալը և նաև այն արտադրիչները, որոնք չեն կրկնվում:

Օրինակ`

{84;90}=2*2*3*3*7*5=1260

84=2*2*3*7     90=2*3*3*5

Թվերի Բաժանելիության հայտանիշները

·         2ի բաժանվում են այն թվերը, որոնք վերջանում են` 0,2,4,6,8-ով:

·         3ի և 9ի բաժանվում են այն բոլոր թվերը, որոնց թվանշանների գումարը բաժանվում է 3ի9իЖ

·         4ի բաժանվում են այն թվերը, որոնց վերջին 2 նիշերը կամ 0ներ են, կամ էլ վերջին 2թվերով կազմված թիվը բաժանվում է 4ի:

·         5ի բաժանվում են 0-ով կամ 5-ով վերջացող բոլոր թվերը:

·         8ի բաբանվում են աըն թվերը, որոնց վերջին 3 նիշերը 0ներ են, կամ վերջին 3 նիշերովկազմված թիվը բաժանվում է 8ի:

Կոտորակներ

Կոտորակ  հասկացությունը.

Ամբողջ  թվերի  միջև  եղած  միջակայքերի  թվերը նշանակում են  կոտորակներով:  Օր.՝  1-ի  և 2-ի  միջակայքում  է  գտնվում  4/3  կոտորակը:  Կոտորակն իրենից  ներկայացնում է  ամբողջի  որևէ  մաս:  Օրինակ, եթե  խնձորը  բաժանենք  երկու  հավասար  մասերի, խնձորի  կեսը  կլինի  ամբողջի  1/2 –ը, իսկ  ամբողջ  խնձորը  1/2+1/2=1 : Այսինքն խնձորի  երկու  մասերն  իրար  գումարելով  ստացանք  ամբողջական  խնձորը, որը  հավասար է  մեկի:

Նույն  ձևով էլ, եթե  կարկանդակը  բաժանենք  7  մասի,  և  առանձնացնենք  3  մասը, կստացվի  3/7,   4 մասը՝  4/7  և այլն:

Կոտորակների  գումարումը, հանումը,  բազմապատկումը  և  բաժանումը.

    a/b+c/b=a+c/b  եթե  կոտորակների  հայտարարները  նույնն են, ուրեմն  հայտարարը  մնում է  նույնը համարիչները  գումարում ենք:

   a/c+b/a=a*d+b*c/c*d  եթե  հայտարարները  տարբեր են, ուրեմն  ընդհանուր  հայտարարն ենք  գտնում, այն  թիվը, որը  երկուսի  վրա էլ  բաժանվում  է, այնուհետև  առաջին  կոտորակի համարիչը  բազմապատկում ենք  երկրորդի  հայտարարով, գումարում  առաջին  կոտորակի  հայտարարի  և  երկրոդի համարիչի  արտադրյալը:

    a/c-b/a=a*d-b*c/c*dհանումը  կատարվում է  գումարման  նման, ուղղակի  այս  դեպքում  չենք գումարում, այլ  հանում ենք:

a/b*c/d=a*c/b*d   բազմապատկման  ժամանակ  համարիչները  իրարով ենք  բազմապատկում, հայտարարները  իրարով:

  a/b:c/d=a*d/b*c  բաժանման  ժամանակ  առաջին  կոտորակի  համարիչը  բազմապատկում ենք  երկրոդի  հայտարարով,  հայտարարն էլ, երկորդի  համարիչով:

Կոտորակների  համեմատումը

Եթե  կոտորակները  համեմատելուց  հայտարարները  նույնն են, մեծ է  այն  կոտորակը, որի համարիչը  մեծ է:

   a/b և c/b  եթե  a>c  ապա  a/b>c/b   ,  եթե    a<c `  a/b<c/b

Եթե  տարբեր են  լինում  համեմատումը  կատարում ենք  հետևյալ  կերպ.

Համեմատենք   a/b և c/d կոտորակները

a*d  b*c

Եթե  a*d > b*c => a/b > c/d

a*d= b*c => a/b=c/d

a*d<b*c => a/b<c/d

Եթե  կոտորակի համարիչին  ու հայտարարին  գումարենք 1, ուրեմն  կոտորակը  կմեծանա:

a+1/b+1

a/b<a+1/b+1

a(b+1)<b(a+1)

ab+a<ba+b

      a/b  եթե  a<b  ուրեմն  կոտորակը կանոնավոր է

Ֆունկցիա

Կառուցել f(x)=3x²-2x-8 ֆունկցիայի գրաֆիկը, x-ը պատկանում է
[-2;2]
X=(-2;-1,5;-1;0;0,7;1;;2)
f(x)= 3*4-2*(-2)-8=8
f(x)=6,75-2*(-1.5)-8= 1.75
f(x)=3*(-1)²-2*(-1)-8= -3
f(x)=3*0-2*0-8=-8
f(x)=3*(0,7)²-2*(0,7)-8=1,47-1,4-8=7,93
f(x)=3-2-8=-7
f(x)=3*4-4-8=0

Մաթեմատիկա

Առաջադրանք 4.
Ընտրեք փոխկապակցված երկու մեծություններ:
Դրանց կախվածությունը արտահայտեք բանաձևի միջոցով:
Մեծություններից մեկի տարբեր արժեքների համար հաշվեք մյուս մեծության համապատասխան
 արժեքները:
y=3x+1    x-ի արժեքները (-3,-1,0,5,7)

Y=3*(-3)+1=-8
Y=3*(-1)+1=_2
y=3*0+1=1
y=3*5+1=16
Y=3*7+1=22

օր.` վերցնենք 500 էջանոց գիրք: Թե քանի օրում կավարտեմ գիրքը կախված է զբաղվածությունից,  տնայիննե-
րի քանակից, ու քիչ, թե շատ գրքի բովանդակությունից:

զբաղվածություն- y
տնայիններ-z
գրքի բովանդակություն-c
ժամանակ-t
t=y+z+c

X ժամերի քանակը
 Y քանի էջ ա մնացել

y= 500-10x     x=(2,3,4,7)
y=480
y=470
y=460
y=430​

Ֆունկցիայի գրաֆիկ

Ֆունկցիայի գրաֆիկը.
 քայլ 1.ընտրում ենք այն միջակայքը,որտեղ պետք է կառուցենք
 գրաֆիկը
քայլ 2. միջակայքից ընտրում ենք x-ի մի քանի արժեքներ
քայլ 3.   x-ի արժեքը տեղադրում ենք բանաձևի մեջ, y-ի արժեքը
գտնելու համար
քայլ 4 թվազույգը տեղադրում ենք կոորդինատային հարթութ-
յան վրա համապատասխան կետերում:

1.Y=fx ֆունկցիայի արժեքը գտնելու համար Անկախ փոփոխա-
կանին տալիս ենք արժեքներ որոշման տիրույթից (նախընտրելի
է աճման կամ նվազման կարգով),
2.Անկախ փոփոխականի յուր. ընտրած արժեքի համար հաշվում
ենք ֆունկցիակի համապատասխան արժեքը ( անկախ փո-
փոխականի արժեքը տեղադրում ենք բանաձևի մեջ,
և կատարում համապատասխան գործողություններ)
3. Կազմում ենք թվազույգեր(անկախ փոփոխական, ֆունկ
ցիայի  համապատասխան արժեք)
4.Կոորդինատային հարթության վրա նշում ենք այդ թվազույգին
համապատասխանող կետերը(ըստ անկախ փոփոխականի աճման
կարգի),
5. Ստացված կետերը հերթականությամբ միացմում ենք
հատվածներով,
Օր. կառուցենք f(x)=x²-3 ֆունկցիայի գրաֆիկը, x-ը պատկանում է [-2,2]
X-ի արծեքները (-2;0;-1;0,5,1;1,5;2)
f(x)=4-3=1
f(x)=0-3=-3
f(x)=1-3=-2
f(x)= 0,25-3=-2,75
f(x)=1-3=-2
f(x)=2,25-3=-0,75
f(x)=4-3=1

Իրական թվեր

Teenagers and Their Problems

There are many young people in our country. Each of them has his own point of view on his life and his future. There are many problems which are common for all young people. For example how to spend their free time, what to do after school, choosing a profession, how to deal with girl and boy-friends and so on. The problem number one of most of the young people is the problem of fathers and sons. All young people want to be independent, they want their parents to listen to their opinion, not to interfere in their private life. Some parents neglect their children, because they can't find a common language with each other. Many problems were hushed up, but now we can speak openly about them. I think that the most difficult and serious problem of modern teen-ages is drugs. Some young men take drugs, because they think that will be cool. But they don't understand, that it's wrong. Some of them can't stop that, and they become dependent on drugs. And they commit different crimes, because they need some money to buy drugs. There are also many other problems: alchoholism, smoking and so on. There are many youth organizations in our country, wich unite young men on different principles. Members of every organisation have their own world outlook. Each of them has his own moral qualities. There are some informal organizations, for example: skinheads, hippies, panks and so on. Now there is also the problem of misunderstanding beetwen different youth groups. We also face the problem of managing free time. We can do it in different ways. Some of teenagers spend their free time in different night clubs. Other young people spend their free time on the streets. As for me, I spend my free time at home or in night clubs. I also have some problems with my parents. But every time then i have them I try to slove them without quarrel. We are young people and we are the future of our country. Teenagers play an important role in the modern society. Grownups must remember that we are the future of our country and in present moment our character is only being formed and that's why our parents must not assert pressure on us.

The importance of learning foreign languages

While some analysts say that English is becoming the international language of business and society, there’s never been a better time to learn a foreign language such as German, French or Japanese. Though such languages may not be quite as widespread as English, they offer rich sets of linguistics and innuendos not found in any dialect of English. The reasons for learning a new language are varied, but the importance of learning foreign languages is universal: it will always benefit you in one way or another.Foreign languages are also important to those working in business, communications and nearly every other career track. Even if your potential clientele speak English, there isn’t a better way to understand their needs and cultural desires than to learn their language. It helps make a great first impression, and it shows that you are willing to go above and beyond to maintain the relationship. In many cultures, attempting to speak the language is viewed as a sign of respect and has the potential to open doors in the future.

The importance of learning foreign languages

While some analysts say that English is becoming the international language of business and society, there’s never been a better time to learn a foreign language such as German, French or Japanese. Though such languages may not be quite as widespread as English, they offer rich sets of linguistics and innuendos not found in any dialect of English. The reasons for learning a new language are varied, but the importance of learning foreign languages is universal: it will always benefit you in one way or another.Foreign languages are also important to those working in business, communications and nearly every other career track. Even if your potential clientele speak English, there isn’t a better way to understand their needs and cultural desires than to learn their language. It helps make a great first impression, and it shows that you are willing to go above and beyond to maintain the relationship. In many cultures, attempting to speak the language is viewed as a sign of respect and has the potential to open doors in the future.